കണക്കിലെ ഇന്ത്യക്കാരുടെ കളികൾ

ഒരു സംഖ്യയെ ആ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ തുക കൊണ്ട് നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാമെങ്കിൽ (ശിഷ്ടം=0) അത്തരം സംഖ്യകളെ Harshad(Niven ) Number  /ഹാർഷാദ് ( നിവെൻ ) സംഖ്യ  എന്ന് പറയുന്നു.

ഉദാഹരണമായി 18 എന്ന സംഖ്യയെ അതിന്റെ അക്കങ്ങളുടെ തുകയായ1+8= 9 കൊണ്ട് പൂർണ്ണമായി ഹരിക്കാം. 18/9=9. അതുകൊണ്ട് 18നെ ഒരു Harshad നമ്പർ ആയി കണക്കാക്കാം.

മറ്റൊരുദാഹരണമായി

രാമാനുജ സംഖ്യയായ 1729 പരിശോധിക്കാം:

അക്കങ്ങളുടെ തുക= 1+7+2+9=19

1729÷19= 91. (ശിഷ്ടം=0). ശിഷ്ടം 0 ആയതിനാൽ രാമാനുജ സംഖ്യയും ഒരു Harshad നമ്പറാണ്.

അടുത്തതായി 25 എന്ന സംഖ്യ പരിശോധിക്കാം.അക്കങ്ങളുടെ തുക=2+5=7

25÷7=21 (ശിഷ്ടം=4). ഇവിടെ 25നെ അതിന്റെ അക്കങ്ങളുടെ തുകയായ 7 കൊണ്ട് പൂർണ്ണമായി ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. അതുകൊണ്ട് 25 ഒരു Harshad നമ്പർ അല്ല.

ഇന്ത്യയിൽ നിന്നുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഡി.ആർ. കപ്രേക്കറാണ് ഹർഷാദ് സംഖ്യകൾ നിർവചിച്ചത്.  “ഹർഷദ്” എന്ന വാക്ക് സംസ്കൃതത്തിൽ നിന്ന് വന്നതാണ് . “ഹർഷ ” എന്നാൽ സന്തോഷം എന്നും , “ദാ ” എന്നാൽ നൽകുക എന്നുമാണ് അർത്ഥം . അതായത് സന്തോഷം നൽകുന്നത് എന്നർത്ഥം. 1977-ൽ സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു കോൺഫറൻസിൽ ഇവാൻ എം. നിവൻ അവതരിപ്പിച്ച പ്രബന്ധത്തിൽ നിന്നാണ് “നിവൻ നമ്പർ” എന്ന പദം ഉടലെടുത്തത്.

എന്താണ് കാപ്രേക്കർ സംഖ്യയും ,കാപ്രേക്കർ സ്ഥിരാങ്കവും ( Kaprekar Number / Kaprekar constant)?

6174  എന്ന സംഖ്യയാണ് കപ്രേക്കർ  സ്ഥിരാങ്കം എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.ദത്തരായ രാമചന്ദ്ര കപ്രേക്കർ  (ഡി ആർ കപ്രേകർ ) എന്ന ഇൻഡ്യൻ  ഗണിതാദ്ധ്യാപകന്റെ പേരിൽ അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്  ഈ കപ്രേക്കർ സ്ഥിരാങ്കം .1949 ലാണ് അദ്ദേഹം ഈ സംഖ്യയുടെ പ്രത്യേകത കണ്ടെത്തിയത്.

ഇത്  കണ്ടെത്തുന്ന രീതി  ഏങ്ങനെയാണ് എന്ന് നോക്കാം

⚡ആദ്യമായി നാല് വ്യത്യസ്ത അക്കങ്ങൾ പരിഗണിയ്ക്കുക. ഇവ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാവുന്ന നാല് അക്കങ്ങളുള്ള , ചെറിയ സംഖ്യയും വലിയ സംഖ്യയും എഴുതുക

( അതായത്  അക്കങ്ങള്‍ അവരോഹണ ക്രമത്തിലും , ആരോഹണക്രമത്തിലും എഴുതണം )

⚡വലിയ സംഖ്യയിൽ നിന്നും ചെറിയ സംഖ്യ കുറയ്ക്കുക.ഉത്തരമായി ലഭിയ്ക്കുന്ന സംഖ്യയിലെ അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രവർത്തനം തുടരുക….ഈ പരിപാടി പരമാവധി ഏഴു തവണ ആവുമ്പോഴേക്കും  6174 ല്‍ തന്നെ സ്ഥിരമായി നില്‍ക്കും. അതായത് ഏഴ് ഘട്ടങ്ങൾക്കുള്ളിൽ 6174 എന്ന സംഖ്യയിൽ  എത്തിച്ചേരുമെന്ന് സാരം .

ഉദാഹരണമായി 3524 എന്ന നാലക്ക സംഖ്യ പരിഗണിയ്ക്കുമ്പോൾ;

5432 – 2345 = 3087

8730 – 0378 = 8352

8532 – 2358 = 6174

7641 – 1467 = 6174

മറ്റൊരു ആവർത്തിക്കാത്ത നാലക്ക സംഖ്യ നോക്കാം (5004 )

5400-0045=5355

5553-3555=1998

9981-1899=8082

8820-0288=8532

8532-2358=6174

7641-1467=6174

ഇനി എത്ര ചെയ്താലും 6174ല്‍ വന്നു നില്‍ക്കും.

ഈ 6174 എന്ന സ്ഥിരാങ്കത്തെ (constant) ‘കാപ്രേക്കര്‍ സ്ഥിരാങ്കം’ (Kaprekar’s constant) എന്നാണ് ഗണിതലോകം  വിളിക്കുന്നത്.

വിനോദഗണിതത്തില്‍ (Recreational Mathematics) അദ്ദേഹത്തിന്റെയായി വേറെയും ധാരാളം കണ്ടെത്തലുകള്‍ ഉണ്ട്.

55 ന്റെ വര്‍ഗം എത്രയാണ്? 3025, അല്ലേ. ഇതിനെ രണ്ടു ഭാഗമാക്കുക ; 30 ഉം 25 ഉം. രണ്ടും കൂട്ടി നോക്കൂ. 30+25 = 55.

ഇങ്ങനെ ഒരു സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗമായിക്കിട്ടുന്ന സംഖ്യയെ രണ്ടാക്കിയ ശേഷം കൂട്ടി നോക്കിയാല്‍ ആദ്യത്തെ സംഖ്യയാണ് കിട്ടുന്നതെങ്കില്‍ അതിനെ ‘കാപ്രേക്കര്‍ സംഖ്യ’ (Kaprekar number) എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത്. 45, 703, 2728, 5292, 857143, …. എന്നിവ അത്തരത്തില്‍പ്പെട്ടതാണ്. ഇവയുടെ വര്‍ഗം കണ്ട് അതിനെ രണ്ടാക്കി വിഭജിച്ച് കൂട്ടി നോക്കൂ. അതേ സംഖ്യ കിട്ടുന്നത് കാണാം.

വാൽ കഷ്ണം

1905 ല്‍ മഹാരാഷ്ട്രയിലെ താനെയില്‍ ജനിച്ച ഡി.ആര്‍. കാപ്രേക്കര്‍ ഒരു സ്‌കൂള്‍ അധ്യാപകനായിരുന്നു .  ഗണിതത്തിലുള്ള അടങ്ങാത്ത താല്പര്യമാണ് ബിരുദധാരി മാത്രമായിരുന്ന അദ്ദേഹത്തെ രസകരമായ ഗണിതരൂപങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് നയിച്ചത്.

ആവർത്തിച്ചുള്ള ദശാംശങ്ങൾ, മാജിക് സ്ക്വയറുകൾ, പ്രത്യേക ഗുണങ്ങളുള്ള സംഖ്യകൾ തുടങ്ങിയ വിഷയങ്ങളെക്കുറിച്ച്  ധാരാളം പഠനങ്ങൾ നടത്തുകയും , പ്രബന്ധങ്ങൾ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയും ചെയ്ത കപ്രേക്കറിനെ  “ഗണിതാനന്ദ്” എന്നാണ്  അറിയപ്പെടുന്നത്.കപ്രേക്കർ സ്ഥിരാങ്കത്തിനും , ദേവ്‌ലാലി നമ്പറുകൾ, ഹർഷാദ് നമ്പറുകൾ, ഡെംലോ നമ്പറുകൾ എന്നിവയും അദ്ദേഹം വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട് . തുടക്കത്തിൽ അദ്ദേഹത്തിന്റെ ആശയങ്ങൾ ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഗൗരവമായി എടുത്തില്ല  .എന്നാൽ മാർട്ടിൻ ഗാർഡ്നർ 1975 മാർച്ചിൽ ” മാത്തമാറ്റിക്കൽ ഗെയിംസ് ഫോർ സയന്റിഫിക്  അമേരിക്കൻ ” (“Mathematical Games for Scientific American “) എന്ന  കോളത്തിൽ കപ്രേക്കറിനെക്കുറിച്ച് എഴുതിയപ്പോൾ മുതലാണ് അദ്ദേഹം  പ്രശസ്തിയിലേക്ക് ഉയർന്നത്  ഇന്ന് അദ്ദേഹത്തിന്റെ പേര് പ്രസിദ്ധമാണ് . മറ്റ് പല ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും അദ്ദേഹം കണ്ടെത്തിയ വസ്തുതകളുടെ പഠനം പിന്തുടരുന്നുണ്ട്.